本論文發表於：2012師資培育機制實驗計畫成果發表暨研討會，如欲引用請務必與作者聯絡。
幼兒遊戲行為與數學概念之探討
作者：黃凱祥、魏美惠
摘要
本文係以探討學齡前階段幼兒遊戲行為中的數學概念為主要目的。旨在分析幼兒從遊戲中透過個人自我建構以及社會性互動的過程所獲得的數學的相關概念，以及獲得數學概念的方式與途徑。本文採用理論分析方式，先探討幼兒數學學習的建構理論，接下來就幼兒數學學習的特色進行討論。由於幼兒天生具有數感，其數學概念的建構係透過生活化與遊戲性的方式，因此，本研究再以遊戲與數學概念的關係進行剖析。
1990s年代台灣對於建構式數學的實施或有針貶，然則，時至今日家長觀念的逐漸改變，對幼兒數學學習開始朝向以幼兒為本位的興趣和多元的角度來思考。因此，本文可提供未來研究者進一步探究數學學習與遊戲的關連性，以及遊戲模式如何協助幼兒建構數學概念等相關議題，俾使未來的數學教學不再揠苗助長，從而提升幼兒的學習興趣與成效。
關鍵字：學齡前幼兒、遊戲、數學學習、建構式數學、數學學習理論
壹、緒論
基礎數學是現代社會中的人們都所需具備的基本技能，在升學主義之下擁有優秀的數學能力更是佔有優勢，因此基礎數學能力免不了成為許多父母親關注的焦點。早期行為主義論者所持的吸收論主張，認為幼兒如同一張白紙，透過反覆的練習而習得概念，重點仍在於強調幼兒數學概念的學習是來自於接受教導而獲得的觀點。皮亞傑的建構論（Piaget, 1962）則提出幼兒因為內在的需求而主動與外界互動，然後自我建構數學概念的觀點。維高斯基的社會建構論從歷史文化的角度剖析人類的心智發展，進一步描繪出幼兒數學的學習歷程，透過社會互動的媒介建立起知識（Vygotsky, 1978）。
近代由於科技的快速發展，人類學習機制的探討除了針對嬰兒進行數學概念的實驗，也可從大腦神經科學的角度來佐證。Dehaene指出嬰兒雖然數概念尚未成熟，但已經具有對數的基本概念（Dehaene,1997）。人類不僅天生具有數感，遊戲亦是本能的天性。幼兒係因其內在需求與動機而表現出投入遊戲的外顯行為，屬於一種自發性、自由選擇的行為。遊戲更有助於幼兒肢體動覺、情緒、社會互動、語言、創造力與道德等各種能力的發展（曾心怡，2011），即使只是透過簡單的積木堆積，也能夠刺激孩子的想像力，並從中獲得數學空間概念的發展（黃凱祥，2006）。
本文的重點在於從幼兒天性的遊戲行為與原本就具有的天生數感，進一步分析幼兒透過遊戲活動在社會性互動以及個人自我建構的過程中，所獲得的數學概念。全文分為六個部分，首先說明幼兒數學學習的建構理論基礎；接下來介紹幼兒數學概念發展的特色；第三及第四部份則探討幼兒遊戲行為與數學認知發展以及幼兒數學學習的新理念；最後則提出結論與建議。本文透過文獻分析探討幼兒在遊戲中自然建構的數學概念，除了讓關心幼兒數學發展者可以瞭解人類對於數學概念的自我建構機制和心智外，也讓對本議題有興趣的研究者，可以從中獲得未來研究的方向。
貳、幼兒數學學習的建構理論基礎
一、主動的自我建構數學概念 - 建構論
早期的行為主義認為幼兒在進入正式學校前是沒有能力如同「白板」或「空容器」一般。但是建構論者卻認為兒童是主動的學習者，會經由與外界的互動主動建構自己的知識。皮亞傑認為幼兒獲得數學概念的歷程，是透過與外界環境互動，並依照自己內在認知理解程度為基礎，藉由反省抽象化（reflective abstraction）的歷程建構出對世界的認識（引自何素娟譯，2001）。換言之，個體知識的建構並非處於被動接受的狀態，而是以先備知識做為基礎，過程中是不斷的自我修正與調適，以面對外在環境的探索和知識建構（Glasersfeld,1995）。知識建構是在不斷的衝突、調適、接受之後，形成對外在世界的認知。此一歷程即為皮亞傑所主張幼兒藉由同化（assimilation）與調適（accommodation）的方式來適應（adaptation）環境然後建構知識（Piaget, 1962）。
轉化亦是幼兒建構認知的模式。遊戲中的表徵特徵性、物品真實與虛假的轉換、假裝與真實情境之區別、角色扮演、故事的擬人化、角色的轉換等遊戲方式，都能將活動內容轉變為實際生活概念的內在轉化作用。皮亞傑認為從遊戲中幼兒會藉由轉化（transformation）的功能自我調適，然後將之同化而得到新經驗。不同年齡的幼兒隨著認知階段與發展的不同，遊戲內容和形式也會隨之改變，幼兒會從遊戲中不斷的自我建構與發展（Piaget &Inhelder，1969）。
遊戲工具的運用也是幼兒獲得數學概念的來源，皮亞傑認為幼兒透過與實物的接觸與探索來建構數學的概念，並從中發展出對物體的邏輯關係的理解。個體藉由實際參與的行為獲得知識，再經過經驗的逐步累積建構認知概念。因此就皮亞傑的觀點，經驗與操作仍然是認知發展的必要條件，幼兒必須在豐富的生活經驗中與周遭的人、事、物互動，才能建構智力運作的基模（schêma）（魏美惠2005）。
二、社會文化互動下的數學學習心智 - 社會建構論
Cobb,Wood和Yackel等人（1991）指出數學的意義建立在人類在不同領域自然而然產生的集體共識。因此，教與學的活動必然依循著社會互動模式，同時在互動中創造與修正數學（引自詹國勳等譯，2005）。維高斯基（Vygotsky,1978）主張從社會文化歷史來探討人類的心智發展，認為心智功能的發展起源於社會、文化和歷史。人類的心智功能藉由特定情境下發展出的工具或符號作為溝通互動的工具，然後在人與人之間的社會互動得以開啟並繼續發展。他認為人類之所以異於動物在於具有獨有的高層次心智功能，這種能力源自於人類社會生活，並藉由心理工具（如：符號、數字、語言、圖表等），與他人溝通互動而提升（游麗卿，1998）。
數學的紀錄即為人類符號的一種，幼兒在建構高層次認知的數學概念必須於社會中透過人際互動先接觸到中介符號 – 數字，然後再於幼兒心理中內化，然後轉化為個人對數學概念的認知。而這其中的符號與運用符號的歷程即為整歷程的核心（吳幸宜譯，1994）。藉由語言、符號掌握與精進，隨著能力和經驗的增加，幼兒在高層次的數理邏輯概念也得以不斷的提升。在兒童數學的學習和發展中，符號的使用就是語言和數學符號。現代人類的生活，原本就充滿各式生活符號、語言與活動，從時間、購物、點屬物品、符號標示可說是處處可見，觀察幼兒互動更能藉此察覺其數學思考脈絡與運用（李淑娟，2007；房昔梅，2004）。
三、建構論與社會建構論下教材、教具的使用
建構論下的數學教學，強調遊戲中學習，以實物操作的學習方式為主（魏美惠，2005），主要是運用許多的教具或生活物品，可應用的教具、物品種類也相當多樣化。皮亞傑的認知發展理論強調學齡前幼兒處於「質量不成熟」的時期，對於數量的認知須依賴實物為媒介（Piaget, 1962）。許多研究顯示應用教具或實物於數學教學中，有助於數學概念的建立，劉蘊如（1993）運用福祿貝爾恩物於教學中，發現大班幼兒在認數與對面積的了解有所提升。黎佳欣（2007）探討個案幼兒在角落操作教具其數概念的發展情形，結果顯示角落情境提供許多具體教具，能提升幼兒的數概念，培養對數學的敏銳度。同樣地，當教師結合圖畫書與實物操作時，亦能顯著提升幼兒加法運算能力（張麗芬，2009）。
教材教具的使用，應配合幼兒的心智發展，使幼兒對數學的理解更加容易（劉秋木，1996）。從著名的福祿貝爾恩物、蒙式數學教具、狄恩斯數棒等都有助於幼兒數概念的學習，此外，生活中仍有許多物品可以應用於數學活動中，如撲克牌、大富翁、郵票、骰子、棋子、錢幣、彈珠等，幼稚園學習區中常見的教具也相當適合應用，如圖畫書、雪花片、各類積木、數彩蛋、七巧板、串珠等等。
在建構論的學習觀，重點是放在兒童與環境互動，為他自己活躍地建構知識，而在社會建構論中，重點則在成人與兒童共同工作。因為社會建構論中，教師在幼兒的學習過程中扮演重要角色，教學中教師身為鷹架者，藉由各種活動和時間的調配，輔以不同的教學方式，達到顧及到每一位幼兒的需求，可透過團體討論促進幼兒思維；透過小組教學讓幼兒與小組成員有更密切的互動機會（陳惠敏，2007）。因此，應用社會建構理論在幼兒數學的教學上，除了重視幼兒對數學知識的建構過程外，也相當強調幼兒與成人、幼兒與同儕之間的溝通互動，孩子們在討論與溝通過程，彼此分享不同的觀點，整理、澄清自己的想法。尤其是三至五歲幼兒，在其遊戲建構中，應比其他年齡層兒童需要更多的鷹架支持與引導（周淑惠，1999）。
社會建構論在教學原則與教材、教具的使用基本上與建構論大至相同。然而，在社會建構論下，教師應了解幼兒先備的數學知識，找出其最近發展區，並多加提供開放性問題，激發幼兒的思考，引發彼此思考性的對話，使幼兒在透過成人或同儕的引導與說明以及藉由具體的操作活動下，強化幼兒語言與思維的連結，提升幼兒的數學能力（林瑩惠，2011）。
參、幼兒數學概念發展的特色
一、天生數感
人類天生就具有數感，這種與生俱來的能力，可以作為個體學習數概念的基模，進而吸收訊息成為自己的知識。認知學派的學者認為人類的概念性知識會優先發展，以此為基礎引導程序性知識的建立（王麗娟譯，2000）。實驗發現嬰幼兒在一歲以前雖然數概念尚未發展成熟，但已有數的基本知識稱之為數感（number sense），可知人類天生已經發展出數感概念（Dehaene ,1997）。這種分辨多寡和掌握基本數量的能力，可以說是人類為求生存所必備的基本能力（黃嫈珺譯，2005），幼兒階段所具備的數感是不需經過教導就能擁有的能力，以此為基礎，進一步發展更複雜的數學概念。
二、生活即數學
人類的日常生活原本就與數學息息相關，對於生活即數學的闡述，黃凱祥（2009a）指出數學並不是指單一的能力或是簡單的問題思考或解決的過程，數學的影子可以說是散佈於日常生活之中，它的存在更是結合了各種不同領域的概念同時聯結了真實世界所發生的一切事物。對孩子來說也正由於數學與生活的聯結性而更容易理解，透過理解、推理孩子於內在建構自我對日常事物的規則性，從而發展出分辨不同事物的差異性。
幼兒可以從日常生活中獲得非常豐富的數學概念的經驗。從發展學者的研究中可知道幼兒數學的知識與能力可以分為正式數學以及非正式數學（informal mathematics）（張麗芬，2009）。非正式數學就如同Baroody（2000）所稱，是一種從實際生活體驗中所獲得的數學能力。Ginsburg（ 2002）指出幼兒的非正式數學的表徵，並不是使用正式數學中的語言或非語言符號，而是使用自己的方式來解決數學問題，例如點數或是使用手指頭，甚至可能創造出自己的符號來作為表徵。
Baroody（2000）指出學齡前的幼兒在接觸正式教育前，多數就已經具有部分的非正式的數學能力。由於生活中不僅存在著各種數學符號，同時也不可避免的會面臨到符號的運用、點數和計數的各種狀況，因此未曾接觸正式數學學習課程的幼兒，在面臨到基礎數學問題時，就會以自己所默會的非正式數學模式來處理其所面臨的問題。但是，幼兒以非正式數學模式來處理數學問題，有時候會因認知上的衝突而產生學習的困擾。
三、學齡前幼兒之數學概念
學齡前幼兒在入學前的數概念包含唱數（正數、倒數、數字接龍）、計數（合理性計數）、序數、基數、數字認讀、數量、相對大小（數量多寡）、數的合成分解、數的計算等（陳俞君、陳品華，2006；陳英娥譯，2006陳俞君、陳品華、楊詠斯、王碧淳、謝淑芬，2004；Baroody，2000；許惠欣，1987）。將上述的數學概念統整後，可以發現其基礎在於三個基本概念：數字（符號）、數量與數名的結合，再以此為基礎進一步發展出對數學的運算能力。
幼兒數學的內容豐富多樣，依據教育部幼稚園課程標準（1987）中之數概念內容有：1.數與量：物體數、量、形之比較、單位名稱、順數與倒數、質量、數字之辨識、十以內合成與分解。2.幾何與空間：認識基本圖形、認識方位。3.時間概念：對時間感興趣與好奇、認識星期一至星期日的正確說法。
學者周淑惠（1999）指出幼兒「數」的學習內涵有「唱數與計數」、「數字認識、書寫與運用」、「數字與5、10關係」、「數字間關係」、「合成與分解」、「實用算術」，如圖1-1「數」的學習內容網所示；「量」則為「連續量表徵與比較」通稱為「連續量」，即是指需要用測量的方式才能知道有多少，其組成是連續成一體、無法獨立個別分開的，如重量、面積、體積、長度等。
（略）圖2-1-1 「數」的學習內容網
資料來源：改自周淑惠〈1999〉。幼兒數學新論─教材教法。頁45。
許惠欣（1987）統整相關文獻發現多數學者主張要建立「數」概念，必須先發展九項對物品的觀察與描述、分類、比較、形式排列、序列、配對（一對一對應）、相等化概念、組合與分解、背誦式計數等九項技能。幼兒經常在日常生活中應用這些技能，透過遊戲行為也能因為自由的選擇與自發性的投入活動而獲得磨練（許惠珠、邱椒雅譯，1980）。例如，從積木活動中可以刺激幼兒發揮無限想像力，更可以自然的從中獲得上述多項數學前技能的發展（黃凱祥，2006）。聯結幼兒日常活動和他們所好奇的事物、金錢的使用、玩具等等的遊戲，也能提供他們數學應用的機會（黃凱祥，2009b）。隨著年齡的增長，幼兒在活動的探索中自然建構更高階的能力，並進一步奠定正式數學能力的基礎。
肆、幼兒遊戲行為與數學認知發展
Vygotsky於1933年的作品中，說明遊戲對孩子發展的影響，其中有一段話：
遊戲為孩子創造了最近發展區。在遊戲中，孩子總是表現超越他
的一般年齡，超越他的每日行動；在遊戲中兒童似乎比自己高出
一個頭。就好像放大鏡的焦點，遊戲在一個密集的形式裡包含了
各種發展的傾向，而且本身就是一個主要的發展來源（轉引自谷
瑞勉譯，1999，頁89）。
從這段話可知，Vygotsky相當重視遊戲在幼兒發展所佔的地位，認為遊戲使幼兒可以更進一步，發展到心理功能的更高層次。Baroody（1987）表示兒童藉著遊戲來探索及控制周遭環境，遊戲可提供一種有趣、又有意義的方式來學習大部分的基本數學，兒童藉由各種遊戲進行時，對基礎的算術技巧加以應用及練習。遊戲給孩子一個既自然又快樂的學習環境，使他們產生連結的觀念並熟悉基礎技巧，遊戲也十分地鼓勵幼兒進行有意義的學習或記憶式的學習（桂冠叢書編譯組譯，2000）。因此遊戲對於幼兒發展是不容忽視的一環，且應用於數學的學習也能使孩子感受數學的趣味且具有意義。
對幼兒來說，生活中原本就充滿了遊戲，同時也是他們生活的重心，透過遊戲從環境、同儕與成人的互動，幼兒吸收到對周遭環境的認知與知識，並建構對知識的認知基模（李芳森，2006）。幼兒的身體是完全的『感官體』，能將周遭環境人、事、物所聽、所見、所聞、所接觸、所品嚐的一切全然吸收然後儲存（許惠珠譯，1989）。換言之，幼兒展現出內在的意志力量，透過感官主動的與周遭環境的資訊產生互動，然後展現於遊戲中。因此，遊戲是幼兒發自內在意志自我選擇、自我創造、自我引導的一種自主性行動的過程，幼兒在遊戲的過程主動的投入情感、想像讓遊戲的樂趣與學習發生於無形之中，並融入與呈現於遊戲主題之中。由於遊戲助於引發對學習的熱愛、好奇和動機，英國教師聯盟就曾向政府提出訴求，「孩子需要以玩為本的學習（play-based learning）」（林玉珮2008）。
皮亞傑（1962）認為幼兒透過遊戲增進認知能力，成人需要瞭解幼兒遊戲的意義與目的，才能進一步透視他們幼兒的認知發展活動（Piaget ,1962）。廖信達（2004）指出遊戲對學習有四個影響分別為表徵、愉快的學習、主動參與以及有助想像力、創造力和問題解決能力的發展。幼兒愉悅的遊戲從遊戲互動中建構吸收生活環境中的數學符號、表徵與規範，並以無限的想像力與創造力解決自己在活動中所面對的問題，正如Saxe及Bermudez（1992）所述，幼兒在遊戲的社會互動過程會建立自己的遊戲規範，以及在互動中建構出數學知識。
在國內小學數學教育相關研究中，經常可發現教師運用遊戲於數學學科教學的研究，且研究結果大多顯示遊戲融入學童的數學學習具有正面成效。黃國勳、劉祥通（2006）將學童日常生活中熟悉的「大老二」撲克牌遊戲加以改造，設計出「因數大老二」的教學活動，發現能促進學童主動理解因數的概念，引發他們深度思考，並建構了數於自己的數學知識。黃怡芳（2005）的研究顯示數學遊戲在學童學習二位數運算上的輔助效益高，且在認知、情意及技能的效果佳。此外，國內學者周淑惠（1999）與曹雅玲（2004）皆提出幼兒數學的教學原則應強調學習生活化、遊戲化、具體化等，讓幼兒能主動積極探索數學的奧妙，培養對數學的學習興趣。周淑惠（1999）並指出引起幼兒學習數學的興趣以遊戲化的教學是最直接的方式。黃瑞琴（2009）也主張幼兒教師在引導幼兒進行預先計畫之分組和團體活動時，可規劃為各種愉悅的遊戲教學活動，吸引幼兒積極參與學習，增進各種能力。因此，遊戲在幼兒的學習過程扮演重要角色，並從遊戲中激發幼兒的學習興趣，興趣亦是學習的動力，讓孩子主動積極投入學習中，學習更具意義與效果。
此外，從建構理論之主動原則來看，主動原則意指知識的形成應由學習者本身主動構築而來，而非被動地吸收知識，應用在教育上，教師則應協助學生主動參與知識的建構，讓學生在對話、運思與合作學習的社會互動過程中產生學習（詹志禹，2002）。因此，在幼兒數學的學習上，教師亦應營造主動、建構、合作學習的學習情境，並在孩子主動探索過程中引導其進入更高層次的學習，使幼兒從過程中思考、嘗試、驗證而獲得概念，並運用於生活實際情境中。由上所述，幼兒數學的學習適宜採遊戲的方式，引發幼兒對數學好奇感興趣，產生學習動機自然地就會主動探索、思考與行動，輔以教師的引導使其能在許多的活動過程中思考與運用數學，進而逐步建構數學概念與培養良好的學習態度，此為教師在數學教育上能努力的方向。
伍、幼兒數學學習的新理念
遊戲是幼兒的本能，可以隨時發生、隨時結束，幼兒享受的是遊戲過程所帶來的愉悅，可以隨心所至、天馬行空的進行。透過自由遊戲幼兒有機會經驗『我是主人』的實際感受，讓學習發生於無形之中，對幼兒來說從遊戲中所獲得的數學概念，就如同默會知識一般，知其然而不知其所以然，在潛移默化之中，自然掌握許多數概念的技巧。
一、遊戲、數學概念與生活三者密不可分
人類具有許多與生俱來的能力，分辨大小、多寡，然後進一步掌握數與量的能力，這是演化過程中為求生存的所必須具備的能力（王麗娟譯，2000）。就幼兒階段來說，遊戲是生活中的主要重心之一，如同陳姿蓉、張倚瑛、謝嘉珊、張國綱（2006）的研究所述，遊戲過程的基礎訓練或模仿較少，且對幼兒而言重過程而輕結果，即使正式或非正式數學的技巧不可能以訓練的方式為之，但卻有助於擴散性思考與創造力的激發，這對面對實際生活所需具備的問題解決能力有極大的影響。因此，提供並鼓勵幼兒擁有充分的自由遊戲與探索的機會，有助於幼兒數學概念的發展。
二、尊重幼兒數學概念的發展階段性
就皮亞傑的中心觀點來看，幼兒發展有其階段性，認知概念的建構個體的成熟可說是其先被條件（黎佳欣，2008），因此有時候學習成就無法一蹴可及，許多數學觀念會在幼兒成熟後自然的形成並掌握。如同數量的保留概念，兩歲的幼兒即使反覆教導亦無法灌輸並讓其死背熟記以及純熟運用，但對多數的大班幼兒卻如同是渾然天成的技能。就蒙特梭利的觀點來說，遊戲如同幼兒生活、學習與工作的全部，也是他們的真實世界，幼兒透過遊戲來替未來所需的能力作準備，並由自發的遊戲中發展其意志力、愉悅的心以及充滿創造力的思想（許惠珠、邱椒雅譯，1980），幼兒階段的遊戲正足以滿足身、心、靈平衡的發展。
三、社會互動對數學概念建構的必要性
維高斯基（1986）所提出的社會建構理論，為數學的學習與應用帶來了社會性的觀點，他認為遊戲可以促進幼兒認知引發內在的發展，並且創造出最佳發展區。兒童與照顧者互動的過程中，不斷地接受到前一世代所累積的智慧與文化，人類的文明就在世代相傳之下累積與推進（引自陳仙子、任凱譯，2006），社會建構論的獨特之處就在於從社會文化的角度來詮釋學習，認為數學是人類發明的成果，屬於文化現象的一種。在社會與文化累積下的數學概念，幼兒藉由其生活、人際互動、遊戲行為和模仿，由環境中建構其認知概念，數學概念亦由互動遊戲中轉化而建立。
陸、結論與建議
1990s年代台灣推廣「建構新數學」，重視多元的數學學習管道。這種重視學習過程及學習興趣養成的建構新數學概念雖獲得學界的支持，卻礙於第一線教師教學上面臨諸多的挑戰及家長一陣質疑聲浪中備受考驗。 反對者甚至相信所謂的建構新數學只能符應學習有困難的學生（Ma, 1999 & Wei, Corinne, 2011）。雖然如此，越來多的學齡前幼兒家長肯定遊戲中學習的建構數學。黃凱祥（2010）最近針對2051為學齡前幼兒所進行的一份問卷調查顯示有89.6%的家長認為數學學習的興趣與過程比數學的成果重要，且有92.3%的家長認為以多元的方法學習數學對幼兒是有益的。國內目前對於幼兒數學學習方法已漸漸從傳統的吸收論重視紙筆練習及數學成績，以珠心算及背九九乘法為導向的方式逐就被遊戲中學習重視以實物為媒介的建構多元數學所取代。
針對遊戲與數學概念的議題，過去的研究多數著重於探討將遊戲融入於教學的成效或是教學方式。本文透過相關文獻的分析，首先在於建議未來研究者，可以進一步探索幼兒在遊戲行為中所發展與自我建構的數學概念。其次，從文獻中可以發現，人類所具備的數感與對數學概念的發展，可以了解幼兒在自然成熟的條件下，應可以掌握基本的能力，對於教育者及家長來說，如果有進一步的實證研究的探討，當可以提供更精確的參考意見，對於幼兒在數學的學習上不要再以揠苗助長的方式來強迫他們提早學習，而是透過提供豐富的遊戲經驗，以及同儕互動鷹架方式引導幼兒在數學概念上的進一步的發展，而不要過於急切於要求學習成效。
透過遊戲可以看到孩子的本質，甚至看到孩子未來的發展潛能。所以遊戲不應只是表面上的幼兒遊戲活動或是行為而已，當看到幼兒在遊戲所呈現的特殊心智時，成人或許們應先仔細思考，遊戲與孩子之間的連結性，以及他們從遊戲中所有可能的收穫，畢竟這是幼兒期才有的特殊行為，不是只有「學習」才等於真正的學習。
參考文獻
中文部分
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外文部分
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